الرياضيات والتكنولوجيا

صورة

الرياضيات باعتبارها نشاطا فكريا تساهم من جهة في تنمية قدرات الاستدلال والتجريد والدقة في التعبير لدى المتعلم، ومن جهة أخرى في توسيع مجالات معارفه ومهاراته الحسابية والهندسية التي لها امتداداتها في محيطه الاجتماعي والحضاري، فإنها تعد من أهم المواد الدراسية التي تدرس في المرحلة الأساسية، ولذلك فإن مشكلة ” صعوبات التعلم في الرياضيات” تعد من المشكلات الرئيسية الهامة !!

ومع التقدم التكنولوجيا الحاصل ، وتقنية الانترنت أصبح لازماً على المعلم أن يطور في أسلوبه ويستخدم التقنية المتوفرة بسهولة ، والبرامج الرياضية الكثيرة في تقريب المعلومات المجردة وغير المجردة للطلبة ، ويساعدهم على تطويرها وتنميتها ومن هذه البرامج في الملف المرفق

برامج رياضيات مفيدة

شرح و أمثلة على وحدة التفاضل والتكامل

صورة

التفاضل

وحدة التكامل

موقع مفيد للتفاضل والتكامل

الخط المستقيم

خط المستقيم :

يعرف بأنه خط ليس له بداية ولا نهاية وليس له طول محدد وهو تعريف خاطىء للتالى                                                                             

- أن الخط موجود فى مكان والمكان له بداية ونهاية ومن ثم لابد أن يكون الخط له بداية ونهاية

- أن الله يقول بسورة الرعد “وكل شىء عنده بمقدار “وهذا يعنى أن كل مخلوق له مقدار محدد عددا وحجما وكتلة وشكلا وكل ما له مقدار له بداية ونهاية

ولنا أن نتساءل إن المستقيم بتعريفه السابق يعتبر خط وهمى لأنه يتجاوز حدود الكون فهل كل ما بنى عليه وهمى ؟واعتقد أن الإجابة عند أهل الهندسة هى كلا وأما إذا كانت نعم فمعنى ذلك أن نتحدث عن أوهام لا فائدة منها ونأتى لأمر أخر وهو أن المستقيم واحد ليس له ثانى للتالى

أن الاستقامة تعنى السير على الخط المستقيم وهو الإسلام الصراط المستقيم وأما بقية الصرط وهى الخطوط فناكبة أى منحرفة عنه بعيدة عن المستقيم مصداق لقوله تعالى بسورة المؤمنون “وإنك لتدعوهم إلى صراط مستقيم وإن الذين لا يؤمنون عن الصراط لناكبون “وحتى نكون صادقين مع أنفسنا نقول أن الاستقامة والمستقيم معانى لا يمكن تطبيقها هندسيا لأن من المستحيل اختيار خط وإطلاق اسم المستقيم عليه زد على هذا أن الاستقامة بمعنى عدم الانحراف غير موجودة فى الكون لأنه قائم على المنحنيات والإنكسارات والمقصود بالكون هنا المخلوقات وإن كانت الاستقامة موجودة فى صورة طاعة المخلوقات لحكم الله ومن ثم فمن الخير أن لا نطلق كلمة مستقيم على شىء هندسى

عتبرالخط عنصر من عناصر التصميم ذات الدور الهام والرئيسي في بناء العمل الفني  حيث لايكاد اي عمل تصميمي يخلو من عنصر الخط والتعريف الهندسي للخط يرى ان  الاثر الناتج من تحرك نقطه في مسار فقد يرى انه تتابع من النقاط المتجاورة فهو يمتد طولا وليس له عرض ولاسمك او عمق ولكن يمكن القول ان له مكان واتجاه وهو يحدد حافة السطح كما يحدد مكان تلاقي مستويين او سطحيين او مكان تقاطعهما فالخط عنصر تشكيلي ذوى امكانيات غير محدده وانواع مختلفه واوضاع متعدده ويوجد في الطبيعه بصور كثيرة ومتنوعه في معظم اشكالها -فالخط يحيط بمساحه معينه او شكلا ما فيكون اداة التحديد -ويحدد الحركه والاتجاه وامتداد الفراغ فطبيعة الخط هو نقل الحركه مباشره وتتبعها

- وقد يكون مستقيما او منحنيا او منفصلا او ممتدا او منعكسا او مقوسا ويتجه الخط  بالعين الى اعلى او الى اسفل اوالى اتجاه اخر

-كما ان الخط يصف الحركه المحوريه الا ان التاثير الحقيقي للحركه ينتج عن وجود  (المساحات- والاشكال-والالوان-والفاتح والقاتم) الناتجه عن الحركه المحوريه  او المائله

-كما يمكن اضافة تاثير الملمس والمساحه الهندسيه كاللون والشكل وغيرها الى الخط

وتنقسم الخطوط الى نوعين:

1) خطوط بسيطه وتشمل:

- (خطوط مستقيمه (كالخطوط الافقيه- الخطوط الراسيهو -الخطوط المائله

-(خطوط غير مستقيمه(كالخطوط المنحنيه- الخطوط المقوسه – الخطوط الانسابيه

2) الخطوط المركبه وتشمل:

- (خطوط اساسها الخط المستقيم (الخط المنكسر- الخط المتوازي-الخط المتعامد

-خطوط اساسها الخط غير المستقيم:

كالخطوط المتعرجه-والخطوط الحلزونيه- والخطوط المتموجه-الخطوط اللولبيه.
-خطوط اساسها الخط الغير المستقيم اوقد تجمع بينهما

•  كالخطوط المضفره-الخطوط المنقطه-الخطوط المتقاطعه-الخطوط المتشابكه

• الخطوط المتقطعه-الخطوط المتلاقيه-الخطوط الحرة-الخطوط الهندسيه- الخطوط المتماسه

شرح درس الميل

شرح معادلة الخط المستقيم

 أهمية الرياضيات في الحياة

 

صورة

أهمية الرياضيات في الحياة اليومية:

تساعد الفرد على تنظيم أفكاره وتجعله الأقدر على حل مشكلاته بنفسه وتشعره بالتميز، حيث تعزز الجوانب السلوكية الايجابية في حياتنا، في تنظيم الوقت في الطاعات والصلة ، والبر وفي احترام المواعيد ودقتها التي هي قبل كل شيء خلق إسلامي نبيل. فصاحب الرياضيات يتعامل مع الأجزاء ويهتم بها قبل الكل، فزيادة السرعة بمقدار قليل يعتبر تجاوز للسرعة، والتأخر عن العمل دقائق كالمتأخر أكثر، فهو يؤمن بأن المجموعة الجزئية للمجموعة تحمل خصائص المجموعة بشكل عام.

 وللرياضيات دور في العلوم: للرياضيات دور هام في جميع الدراسات العلمية تقريبًا، إذ تساعد العلماء على تصميم تجاربهم وتحليل بياناتهم، ويستخدم العلماء الصيغ الرياضية لتوضيح ابتكاراتهم بدقة، ووضع التنبؤات المستندة إلى ابتكاراتهم.وتعتمد العلوم الفيزيائية، والكيمياء إلى حد كبير على الرياضيات، كما تعتمد العلوم الإنسانية كالاقتصاد، وعلم النّفس، وعلم الاجتماع بقدر كبير على الإحصاء، و يستخدم الاقتصادي الحاسوب في تصميم رياضي للأنظمة الاقتصادية، وتستخدم نماذج الحاسوب هذه مجموعة من الصيغ لمعرفة مدى التأثير الذي قد يحدثه تغير في جزء من الاقتصاد على الأجزاء الأخرى.

وتظهر أهمية الرياضيات وعلم المثلثات خاصة في قياس المساحات الكبيرة، والمسافات الطويلة بطرق غير مباشرة كقياس ارتفاع جبل أو البعد بين جبلين، أو عرض نهر، أو ارتفاع شجرة، حتى قياس طول السنة الشمسية، ومعرفة البروج وحركة الشمس والانقلابان الربيعي والخريفي والليل والنهار وحركات القمر وحسابها والخسوف والكسوف والنجوم الثابتة والمتحركة، و تحديد أوقات الصلاة  والقبلة التي تختلف من بلد لآخر، بل من يوم لآخر.  

وللرياضيات دور في الصناعة : حيث تساعد الرياضيات الصناعة في التصميم، والتطوير، واختبار جودة الإنتاج والعمليات التصنيعية. فالرياضيات ضرورية لتصميم الجسور، والمباني،والسدود والطرق السريعة، والأنفاق، والعديد من المشاريع المعمارية والهندسية الأخرى مثل صنع الحواسيب وجميع الألعاب الإلكترونية، والرسم القلبي الكهربائي فهو يبرهن على أن الهندسة لا تقتصر تطبيقاتها في عمل التصميمات وفي العمارة والمساحة ولكن تمتد إلى العلوم الأخرى ومنها هنا الطب ” الهندسي “وبالضبط عن طريق استخدام مرسام القلب الكهربائي الذي يعمل على قياس الأنشطة الكهربائية للقلب بالنسبة إلى ثلاث نقط أو وصلات : واحدة عند الكتف الأيمن، وواحدة عند الكتف الأيسر، وأخرى عند السرة والتي تكون رؤوس مثلث متساوي الأضلاع، والرياضيات هي الأساس في

الرياضيات والتجارة : تُسْتَخْدَم الرياضيات في المعاملات المتعلقة بالبيع والشراء، وتكمن حاجة الأعمال التجارية إلى الرياضيات في حفظ سجلات المعاملات كمستويات الأسهم، وساعات عمل الموظفين ورواتبهم، ويستخدم المتعاملون مع البنوك الرياضيات لمعالجة واستثمار سيولتهم النقدية، وتساعد الرياضيات كذلك شركات التأمين في حساب نسبة المخاطرة وحساب الرسوم اللازمة لتغطية التأمين. و رياضيات الحساب عندما تشتري من الدكان وعندما نحسب العمر وعندما نجمع العلامات ونحسب النسبة المئوية للعلامات، والمواريث وحساب الزكاة والأرباح.

ولعبت الرياضيات دورًا أساسيًا في تطور التقنية الحديثة كالأدوات، وتطبيقاتها تسيطر على مظاهر عديدة من مظاهر الحياة الحديثة، في التخطيط المستقبلي ودراسة السكان والاقتصاد والامن ، فهي تساعد مثلا في تحديد عوامل الأمان التي يجب أن تزود بها أجهزة القذائف، كما تساعد في تقدير ذكاء الأطفال لدى إجراء اختبارات الذكاء عليهم، وفي علم الوراثة تعطي نسبة ظهور صفة أو مرض وراثي عند فئة ما،.

 إن الطبيعة المجردة للعديد من المفاهيم والأفكار الرياضية تجعل من تعليمها وتعلمها عملية تحتاج لجهود كبيرة صادقة وهادفة، و يمكن تفسير بعض المفاهيم الرياضية وربطها في الحياة كما يلي :

المسدس : من بين الأشكال الهندسية البسيطة ومن الطبيعة هناك الخلايا الشمعية السداسية للنحل.

القطوع المخروطية ( الزائدية ـ المكافئة ـ الناقصية ) موجودة في جسم الآدمي في شكل الفك الأعلى للإنسان و في مسار مركز ثقل دُلفين يقفز.

المفاهيم الرياضية مثل المعادلة والدالة والنهاية والتقاطع والتوازي والسالب والموجب ويمكن ربطها بالحياة من وجهة نظر بعض المهتمين بعلم الرياضيات :

المعادلة: إذا اعتبرنا أن الحياة معادلة فالمعادلة لها طرفان أيمن وأيسر وبينهما علامة تساوي فحتى تكون معادلة يجب أن يكون الطرف الأيمن مساويا للطرف الأيسر وهذه المعادلة قد تحتوي على متغير واحد وربما أكثر وحل المعادلة هو إيجاد قيمة المتغير وقيمة المتغير قد تكون سالبة وقد تكون موجبة وقد تساوي الصفر ولا يوجد في الرياضيات معادلة ليس لها حل وحتى تستمر الحياة يجب أن يتساوى طرفا المعادلة ونضع في الطرفين أي عدد من المتغيرات والثوابت المهم أن يبقيا الطرفين متساويين. وعليه يمكننا أن نعتبر أن الحياة هي ميزان وحتى يبقى معتدلا يجب أن تتساوى كفتيه وان لا ترجح إحداهما على الأخرى وإلا اختل توازنه ولكننا لا نستطيع تطبيق ذلك على الحياة كلها فكفة الخير قد ترجح على كفة الشر أحيانا وقد يحدث العكس .

الدالة: وإذا اعتبرنا أن الحياة دالة وأردنا أن نوجد نهايتها، فنهايتها معروفة مسبقا منذ خلق الله الأرض ومن عليها، ولكن في الرياضيات حينما نوجد نهاية دالة ما فإما أن يكون للنهاية وجود حتى لو كانت تساوي الصفر، لان الصفر لا يعتبر عدم في الرياضيات وإما أن تساوي النهاية المالانهاية ( ) وفي هذه الحالة نقول أن الدالة ليس لها نهاية، ولكن لكل شيء في الحياة الدنيا نهاية و نهاية الإنسان هي نهاية مؤقتة لبداية جديدة قد تكون خيرا وقد تكون شرا وهي أيضا تؤول إلى مالانهاية فإما نعيم لانهاية له وإما جحيم لانهاية له .

التوازي والتقاطع: نقول عن مستقيمين أنهما متوازيان إذا كانا لا يتقاطعان أبدا، و لكل من التوازي والتقاطع تأثيرهما في الحياة ، وإلا لما كان لوجودهما فائدة فحينما نسير بخطوط مستقيمة متوازية متجهين نحو هدف واحد فانا أكيدة أننا سنصل بإذن الله إلى ما نريد. فقوتنا تكمن في تلاحمنا مع بعضنا البعض، ففي الصلاة يقف المسلمون صفوفا متوازية مستقبلين قبلة واحدة وهدفهم واحد هو طاعة الله عز وجل، و رياضياً المستقيمان المتوازيان لا يلتقيان أبدا ولكن في حياتنا قد نسير نحن وأشخاص غيرنا في خطوط متوازية ولكن مع ذلك قد تجمعنا روابط كثيرة قد لا تجمعنا حينما نتقاطع مع بعضنا. قد نلتقي فحينما يتقاطع مستقيمان فهما يلتقيان في نقطة واحدة وبعد ذلك يفترقان، ففي حياتنا كثير من الأشخاص اللذين التقينا معهم في نقطة ما ثم مضينا كل في طريقه بعيدا عن الآخر.

السالب والموجب: فيزيائيا كما نعلم يتجاذب الضدان ويتنافر المتشابهان وهذه ظاهرة علمية لا ننكرها على الإطلاق

ولكن هل نعتبرها أمرا مسلما به، في حياتنا نحن في حياتنا ننجذب لمن يشبهنا ويماثلنا ونبتعد عمن يختلف عنا

قد لا تجمعنا ببعضنا كل الصفات وكل الاهتمامات ولكن يكفي أن يكون هناك عوامل مشتركة بيننا.

كانت هذه بعض الأفكار عن تطبيقات هندسية وعددية واقعية وبسيطة للرياضيات في مجالات مختلفة مثل الأحياء والاقتصاد حيث ربطت الأمثلة المقدمة بين الرياضيات والواقع الملموس في محاولة لاستمطار أفكار الطلبة حول أهمية الموضوع في الحياة والتطبيقات حتى لا يصبح حل المعادلات هو المشكلة التي تستهلك وقت وعقول هؤلاء ويغيب عنهم الهدف الرئيسي، ويصبحوا ” محترفي ” حل معادلات استعدادا للامتحانات، دون رؤية الصورة الكلية أو السياق الذي ظهرت فيه هذه المعادلات.

وتعليم الرياضيات بهذه الطريقة يخدم في إطار تسهيل الاندماج في المجتمع، وبدرجة أكبر على تعلُّم فنِّ التفكير. فإذا لم تصبح الرياضيات ذات علاقة بالفرد بأي شكل كان، فإن تعلمها سيصبح بلا فائدة ولمجرد الحفظ والاستذكار الذي ينتهي بالامتحانات بعد استظهارها. إن الطلبة يملكون مواهب عديدة، تتطلب أن نساعدهم كثيرًا في صونها وتفتيحها بالإكثار من استخدام وسائل تعليمية المختلفة ولاسيما الحديثة منها.

وهنا يظهر جليا دور الاستخدام الهادف للكمبيوتر خاصة مع وجود برامج تعليمية متطورة وفعالة صممت لتبسيط مفاهيم الرياضيات وفي نفس الوقت لتنمية القدرات العقلية للطلبة، فالذكاء وسرعة البديهة وتسلسل طريقة التفكير بات من الضروريات الملحة للتنافس والتدرج والتفوق في الركب الحضاري.

استخدام الوسائط المتعددة في الرياضيات

قصة الحجوم

الحجوم دوران1

الحجوم الناتجة عن الدوران 2

الحجوم الناتجة عن الدوران 3

النظرية الأساسية في التفاضل

النظرية الاساسية في التفاضل

النظرية الاساسية في التفاضل

 علاقة التفاضل بالتكامل

علاقة التفاضل بالتكامل

المعنى الهندسي للمشتقة1

المعنى الهندسي للمشتق2

العلاقة بين الابعاد في المنشور القائم

اسطوانه مرسومه داخل كرة

 العلاقة بين طول ضلع المكعب وحجمه

 

تطبيقات على التكامل

عتقد البعض ان علم التفاضل قد سبق التكامل كون التكامل عملية عكسية للتفاضل وهذا غير صحيح. فقد أظهرت الأدلة التاريخية استخدام التكامل بطرق غير مباشرة في حساب المساحات والحجوم كما كان في عهد المصريين القدماء في طريقة حساب حجم الهرم الناقص. كما تبعهم اليونانيون في استخدام طريقة الاستنزاف لحساب المساحات والحجوم ثم ازدهرت هذه الطريقة في عهد أرشيميدس الذي أدخل فكرة الخبرة المكتسبة والتي تمثل جزءَ أساسيا في علم التكامل. ثم انتقلت طريقة الاستنزاف إلى الصين حيث عملوا جاهدين على إيجاد مساحة الدائرة وحجم الكرة.

يستعمل الرياضيون أداة هامة جداً تكاد تدخل في معظم التطبيقات العلمية. ما هو التكامل الرياضي؟
التكامل ببساطة هو مساحة يتم حسابها. فحساب التكامل يعني إيجاد القيمة مساحة محددة بدقة. ويأخذ هذا التعريف في الرياضيات معنى محدداً وبخاصة بالنسبة لمحيط الشكل المراد حساب مساحته. إن تكامل تابع ما وليكن ع يمثل المساحة المأخوذة بين محور السينات ومنحني التابع ع، وذلك بين نقطتين معلومتين ب وجـ . وتتمثل المسألة الرياضية في إعطاء >>>
قيمة دقيقة لهذه المساحة. وليس ذلك بالسهل أبداً. فالمساحات التي نستطيع تقديرها ببساطة هي مساحات المستطيلات فقط. ويستخدم تعريف التكامل مفهومين أساسيين فقط هما مساحة المستطيل ومفهوم النهاية

وترتكز الطريقة على تقطيع المسافة من ب إلى جـ على محور السينات إلى قطع صغيرة، ولنفترض مثلاً إلى ن قطعة متساوية. ونضع في كل من هذه القطع وتحت الخط المنحني للتابع ع أكبر مستطيل ممكن (الذي يمس الخط البياني في أدنى نقاطه). وبالمثل نأخذ أصغر مستطيل ممكن فوق الخط المنحني. وبجمع مساحات المستطيلات التحتية من جهة والمساحات الفوقية من جهة أخرى فإننا نعرف بذلك قيمتين قريبتين جداً من المساحة المراد معرفتها. فالتكامل المراد معرفته يقع بين قيمتي هاتين المساحتين. وكلما كانت حجوم المقاطع المأخوذة أصغر تكون القيم التي يتم الحصول عليها أدق. ويمكننا أن نعتبر أننا كلما جعلنا طول هذه التقطيعات ينتهي إلى الصفر فإن المساحتين المتقاربتين تتناهيان إلى قيمة المساحة المراد معرفتها. وهذا التعريف يسمى تعريف ريمان للتكامل وهناك تعاريف أعقد منه. 

المساحات والحجوم

تطبيقات على التفاضل

 التفاضل، هو مفاضلة شىء على شىء نتيجة التغير، الدرس الأول هو النمذجة  والأوفقية، والنمذجة هي التمثل الذهني لشيء ما و لكيفية عمله، فهي مبدأ أو تقنية تمكن الطالب من بناء نموذج لظاهرة أو لسلوك عبر إحصاء المتغيرات و العوامل المؤثرة في كل من هذه المتغيرات، فهي أسلوب علمي نتمكن من خلاله  فهم العلاقات المركبة و المعقدة للظاهرة، عن طريق صنع نموذج يُمثل و يكون بنية صورية للواقع الأصلي. و هذه الصورة الذهنية تمكن الطالب أن يختار ضمن القرارات الممكنة أفضلها، و إذا بدا له النموذج غير مناسب يغيره بآخر ويوافق بين أفضلها، ويعني بعلم التفاضل الحصول على القيم العظمى والصغرى (القيم القصوى). والدرس الثاني المعدلات المرتبطة في الزمن، مشتق يخبرنا معدل تغير كمية واحدة مقارنة مع آخر في لحظة معينة أو نقطة ما نطلق عليه معدل تغير لحظي، هذا المفهوم لديه العديد من التطبيقات في مجال الكهرباء، وديناميات، والاقتصاد، وتدفق السوائل، ووضع نماذج السكان، أي كمية تتغير دائما من حيث القيمة، يمكننا استخدام حساب التفاضل والتكامل في تصميم نموذج سلوكها. و يتعلق ( مسافات, زوايا, مساحات, حجوم, تشابه مثلثات, البعد بين نقطتين, نظرية فيثاغورس, نظرية جيب التمام, وظل الزاوية،… ) تتغير بمرور الزمن و تعطى معلومات عن بعضها، وكلمة معدل ،عدَّل الوضعَ بدَّله ، أجرى بعض التَّغيير فيه ، أزال أخطاءه ويعتمد مفهوم المعدلات على مفهوم معدل التغير المرتبط بمفهوم المشتقات ، والاعتماد على الترابط بين الدالة والمشتقة الثانية والمشتقة الأولى.

النمذجة والأوفقية

االمعدلات المرتبطة بالزمن

بعض الدروس الثاني عشر العلمي

التكامل باتعويض              القيمة المتوسطة           المساحات

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

الثاني عشر العلمي الفصل الثالث

بعض الإمتحانات وأوراق العمل الخاصة بمنهاج الثاني عشر العلمي الفصل الثاني 

asd                                                          مراحعة 3                                              

chapter5Notes                               ورقة عمل التكامل بالتعويض

امتحان جديد

أمتحان رياضيات للصف الثاني عشر علمي

مراجعة3                                      chapter5Notes

مراجعة5                                           dot1991j-visual-dif-ft-                

امتحان                                                m1190sp03sec54notes

مراجعة 1                                              اجابة

النظرية الأساسية                                   القيمة المتوسطة للدالة

مراجعة 2                                                اسئلة على التكامل

مراجعة 6                                                 EXAMPLE1

مراجعة 4

مراجعة 7

مراجعة عامة

مراجعة عامة 1

دور التكنولوجيا في الرياضيات

دور التقنيات المعاصرة في تدريس الرياضيات :

تلعب التقنيات المعاصرة دورًا هامًا في تدريس الرياضيات ، ويتضح ذلك في الفوائد التي يمكن أن  نجنيها من خلال استخدامها في تدريس الرياضيات منها ما  تستخدم في عمل محاكاة لبعض المفاهيم أو النظريات أو استنتاج بعض القواعد ، فيمكن من خلال التقنيات تقديم صورة للأجسام الساقطة من ارتفاع معين ، ودراسة جسم على مائل وغير ذلك .

تستخدم في تصحيح بعض المفاهيم الخاطئة لدي الطلاب مثل الرسوم البيانية والأشكال  الهندسية في البعد الثالث .

تستخدم في عملية التدريب على حل المسائل المتنوعة مما يساعد على الوصول إلى مستوى الإتقان في تعّلم الرياضيات .

تساعد على تنمية الاتجاهات الإيجابية لدي التلاميذ نحو دراسة مادة الرياضيات .

و الوسائط أو التقنيات التعليمية التفاعلية هي  :

والتي تشتمل على (  الانترانت  الوسائط المتعددة  الوسائط الفائقة  الكتاب الالكتروني  الكتاب المرئي  الفيديو التفاعلي  الدفتر الالكتروني ) 

تفكيك الكسور الجزئية

 

تابع

Get every new post delivered to your Inbox.

%d مدونون معجبون بهذه: